偏导

1. 函数先后对多个未知数求偏导，顺序不影响最终结果

2. 复合函数偏导，画图表示关系，然后偏导（或导数）相乘，不多说

   反过来，有求导对象的复杂表达式，也可以用换元法

3. 隐函数求偏导，设为 F，原本的偏导关系转为 F 对各未知数偏导的反比，记得加负号

4. 求二阶偏导，将一阶偏导视为函数，再求一遍偏导

   注意，结果中出现一阶偏导时，要记得代入

5. 注意看是对谁求导，把其他看成常数以后，做法和求导一样，而求导方法和高中一样

全微分

1. 复合函数全微分，先算出一层的全微分，偏导部分直接代入，微分部分转为下一层的全微分
2. 解全微分中的未知参数：利用偏导性质 1 分别对另一个未知数求交叉二阶偏导，列出等式求解
3. 多元函数求极值点和极值
   • 找出所有偏导同时为 0 的点
   • $A B C$ 分别为 x 二阶偏导，交叉偏导，y 二阶偏导，代入上述点，得到所有 $ABC$ 值的组合
   • $B^2-AC$ > 0 不是极值点，= 0 不确定，< 0 是极值点
     • 是极值点时，A > 0 则为极小值，反之极大
     • 找到极值点后直接求极值
4. 极值点，但是隐函数
   • 用隐函数偏导法求偏导，找到偏导为 0 且联立隐函数成立的点
   • 下面步骤相同，求极值相当于解一元方程
5. 求函数在区间内的最值
   • 找出所有极值点
   • 写出边界方程（比如写成 y 对 x 的方程，以及 x 的取值范围）
   • 代入算出值，若算出来是表达式，算出该表达式的最大和最小值
6. 回忆可微，偏导和连续的关系（维度理论）

向量

1. 向量 $a$ 在 $b$ 上的投影
   • 大小：从点乘中除去 $|b|$ 实际上就是 $|a|cos$ ，即投影大小
   • 向量：用大小乘 $b$ 的单位向量即可
2. 向量叉乘（复习）：
   • 性质：结果的大小，方向；由叉乘判断向量位置关系
   • 计算：行列式
   • 遇到一个向量同时垂直于两个向量时，就可以应用
3. 判断向量平行 / 垂直的几个方法

空间几何

1. 过已知 3 点的平面，直接代入消元（消 D 比较快）

2. 已知平面的法向量（证明：可以取两个点作向量）

   由法向量（注意垂直）可以得到平面的空间关系（包括 cos ），还可以由法向量和定点确定平面

3. 点到平面距离的公式

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4. 已知平面的交线，直接联立也求不出来具体方程，还得用叉乘求向量

   对于一条直线，已知向量，再找出直线上一点就可以得到方程（当然有时候空间关系只需要向量）

5. 点到直线的距离：取直线向量和该点作法平面，法平面与直线联立求出交点，即为在直线上的投影点

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6. 曲线的切线和法平面——

   • 参数方程形式：分别在一点处对 $t$ 求导即可得出切向量，进而得到法平面
   • 隐函数形式：对 $x$ 求导，联立解出导数，设 x = 1（反正是向量可以随便设），即可得到切向量，下同

7. 曲面的切平面和法线：法向量为方程对各方向的偏导，进而得出切平面和法线（证明：曲面全微分就是切平面）

二重积分

1. 简单的直角系二重积分：式子全放到后面，从后往前算积分

2. 交换次序——

   • 式子先放到后面，画出积分区域（平行线常数和函数），看图写出交换后的平行线 / 函数，注意平行线中间夹了折线要分段

   • 结果的 dx 和 dy 也要调换（一般习惯前面积常数，后面积函数）

   • 在遇到难求积分的表达式时，要善用交换次序

3. 对面积的积分：先画出积分区域，再写成二重积分形式，哪个为常数平行线，哪个就在前积，函数的就在后积
4. 转换极坐标：转换方式就不多说了，也是写出积分区域，从后往前算
5. 对称区域积分——
   • 定义域对称是奇偶的第一个条件，所以接下来要判断奇偶
   • 根据对称区域替换 x 或 y，若为奇则总积分为 0，偶则可以直接乘 2

三重积分

对于一块体积的积分思路——降为二重积分

• 找到某方向上下面的表达式（比如 z 轴上下表面写成 z = 形式）
• 对 z 积一次分，得到关于 x y 的函数，整体转为 xy 平面对该函数的二重积分，区域为投影面

尺寸的确认：墙角锥取截距，球面取半径，椭球标准方程取abc，抛物面设 0 现推，锥面也现推

三重积分也可以利用对称，必要的时候可以用

第一类曲线积分

1. 对弧的积分：在一个 θ 范围内，有 x y 对 θ 的参数表达式，求这条曲线对 $f(x,y)$ 的积分

   • 写成对 θ 的积分形式，函数写成复合函数，再乘上两个导数平方和的根号

   • 理解是既然是对 θ 积分，就用扫描模型观察曲线，取得每一段的函数值和这一段的斜向微分

     把导数写成微分，发现可以约掉 dθ，明白是对谁积分了吧

2. 特别的，若写成 y(x) 的参数表达式，则同上，范围自然为 x 的水平区间，x 对 x 求导显然为 1

3. 遇到复杂的曲线，本质上还是，直角坐标方便就用 y(x)，用极坐标方便就变成 θ 参数

4. 特别技巧——平面曲线

   • 若被积函数能表示为常数，直接乘曲线长度
   • 若曲线为对称区域，可以采用二重积分相同方法简化

第二类曲线积分

1. 对于有 $P(x,y)dx$ 和 $Q(x,y)dy$ 积分的形式，写成复合函数乘对参数的导数之和的积分

   同样写开来就能看出，其实还是对两个方向的积分

   • 同样根据曲线形状选择坐标系参数，还要注意积分方向

2. 注意，Py 和 Qx 偏导相等时，起点到终点的积分和路径无关，等效于取直线

3. 格林公式——正向（逆时针）封闭曲线，对 P 和 Q 的积分（如果在封闭区域内 4 个偏导都连续）可以转化为（Qx 偏导 - Py 偏导）在这个面积的二重积分

   • 逆向（顺时针）曲线，积分取负，其他相同
   • 复杂但不封闭的曲线，可以补全，再减去一段的积分

第一类曲面积分

设是 $f(x,y,z)$ 的曲面积分，且有 $z(x,y)$ ，可以写成 x y 和 z(x,y) 的函数（反正消去 z 就行），然后再乘 1 和 zx偏导 和 zy偏导 的平方和的根号，在区域 D 为曲面在 xy 平面的投影上的积分（类比第一类曲线积分）

• 对平面同样可用
• 改变方向，比如可以找出 $x(y,z)$ 或 $y(x,z)$ ，就调成对应方向即可

第二类曲面积分

设是 $P(x,y,z)$ 的曲面积分，若消去 x，写成 $P[x(y,z),y,z]dydz$ 在 yz 投影面上的积分，从 x 方向往原点看，题目给出的积分曲面，若能看到，则为正，否则为负。如果只能看到侧面的曲线，则积分为 0

• 改变方向，调整公式即可
• 简单描述过程：利用方程将 P 中的 x 消去，有时取某个卦限时要注意 x 的正负是否正确（比如开根号怎么开），然后找到投影面，变成二重积分

一般级数

1. 正项级数：为正，且加和中的数一眼能看出规律

   判断敛散性——

   • 最后一项趋近于 0 则继续，否则发散

   • 最后一项如果是 n 次方，取底数，否则取它 / 前一项（一定要取 ∞ 的极限），记为 $ρ$

   • $ρ$ < 1 收敛，> 1 发散，= 1 进一步判断，通过放缩

   • 得到可用于放缩的已知敛散性的级数：

     • 表示为常数的 n 次方，常数 < 1 收敛，否则（包括 = 1）发散
     • 表示为 n 的常数次方分之一（所以不在分母上时常数要取个负），常数 > 1 收敛，否则发散（这边你可能会纠结为什么，记住常数取 1 时我们得到的是一个伟大的带欧拉常数的调和级数，它是发散的界限）

     NUST 中，证明这个用的是高阶无穷小，高阶代表向 0 收敛，毕竟表示为 n 的 大于1 次方 分之一，说明它本身一定是大于 1 阶的无穷小，比调和级数小，收敛。

     倒数的判断类推

   • 然后就判断当前级数，比已知收敛的还小 or 比已知发散的还大

   • 别急，先看当前级数像 n 次方还是像 n 的幂，然后——

     • 想办法消去常数
     • 利用 4 种基本不等式
     • x > 0 时，sinx < x（有奇效）

2. 交错级数：顾名思义，规律照常，但是正负交错

   判断敛散性——

   • 首先都有一个前提是最后一项趋近于 0，不考虑前面的符号，判断是否大于后一项，是收敛，否发散

3. 绝对收敛？条件收敛？

   • 前提是收敛
   • 关键是级数为正项时是否收敛，是则绝对，否则条件（比如交错本来收敛，去掉符号后发散）

幂级数

可能长这样： $\sum\limits^{∞}_{n=0}a_n(x+b)^n$ ，也可能长别的样，毕竟叫幂级数

1. 已知在某点 $x_0$ 收敛 / 发散，判断另一点情况（阿贝尔定理）

   • 若在 $x_0$ 收敛，则 $|x+b|<|x_0+b|$ 时收敛
   • 若在 $x_0$ 发散，则 $|x+b|>|x_0+b|$ 时发散

2. 求收敛域，即收敛范围

   • 我们拿 n+1 项除以第 n 项（绝对值，n 取 ∞ 时的极限）< 1 的区域定义为收敛域，先求出满足的 x 开区间

   • 然后找到= 1 的边界点 x 逐一代入判断是否收敛，是否可以变成闭区间，就这回事

     所以别忘了怎么判断敛散性

3. 求收敛半径：

   把满足收敛域（开区间即可）写成绝对值 < r 的形式，经常在求收敛域的时候就能得到了

4. 收敛域内的和函数：

   • 如果 n 除在下面，令 $v_n$ 为导数，求出 v 的第一项（取决于 n 的起始值，但一般为 1）为分母，1 - 第 n+1 和 n 项的比为分子，S(x) 为积分，因为满足 S(0) = 0，所以还要求出 C 的值
   • 如果 n 乘在前面，令 $v_n$ 为积分，S(x) 为上面的分式求导
   • 最后为和函数标上收敛域
   • 分析： $v_n$ 用来去掉附着的 n，所以 n 在下面就求导，在前面就积分。有时候没法直接去掉 n，一般可以凑 x 的次数使 n 刚好消除。调整的 x 在最后的结果补回来（分类讨论 x 是否为 0
   • 另外：如果前面或下面有多个 n，注意求 $v_n$ 要进行对应次数的求导 / 积分，下一步求 S(x) 也一样

5. 将一个函数展开成幂级数

   • 题目中展开的要求，换成 a，再将 $f(x)$ 转为 $f(a)$

   • 将 $f(a)$ 转化为 $e^a,sina,cosa,ln(1+a),\frac{1}{1+a},\frac{1}{1-a}$ 中的一种，根据泰勒公式替换

   • 然后将 a 转换回 x，限定范围也要换

   • 泰勒公式如下，别怕，如果要求中 a 就是 x，那直接泰勒